线性代数B | 王康吉的博客

type

status

date

slug

summary

📝 二阶行列式

三阶行列式

💡

对角线法则：只适用于二阶和三阶行列式

全排列和对换

一、排列及其逆序数

排列：把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（也简称排列）

逆序：当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成 1 个逆序

💡

求逆序的总数方法：看每一个数字的前面有几个数比他大，然后求和

二、对换

在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个元素对换，叫做相邻对换

定理一：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性

因为每次相邻对换会改变奇偶行，任意两个元素对换，需要进行次相邻对换，所以任意两个元素对换会改变奇偶性

三、n阶行列式的定义

三阶行列式的规律

三阶行列式共有6项，即3！项

每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积

每项的正负号都取决于不同行不同列的三个元素的列下标排列的逆序数（奇负偶正）

n阶行列式的定义

做出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并加上（即由逆序数判断正负，奇负偶正）

说明

行列式是一种特定的算式。根据求解方程个数和未知量个数的相同线性方程组的需要而定义的

n阶行列式数n！项的代数和

n阶行列式的每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积

符号看逆序数，奇负偶正

三角行列式

四、行列式的性质

行列式 D称为行列式 D 的转置行列式

性质 1 行列式与它的转置行列式相等

💡

行标排列的逆序数+列标排列的逆序数的奇偶性不变（逆序数会变）行与列拥有同等地位

性质 2 对换行列式的两行（列），行列式变号

推论若有两行（列）完全相同，则此行列式等于零

性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数 k，等于用数 k 乘此行列式

推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零. 性质 5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 i行的元素都是两数之和

性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变

理解行列式几何意义，直接明白各个性质

【线性代数的几何意义】行列式的几何意义 - AndyJee - 博客园

三、行列式的几何意义：行列式的定义：行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。一阶行列

https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491487.html#4291028

行列式按行（列）展开

在 n 阶行列式中，把（i，j）元所在的第 i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元的余子式，记作记

就是余子式

引理一个 n 阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即

定理 2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算

矩阵及其运算

线性方程组和矩阵

设有n个未知数m个方程的线性方程组

当不全为零时，为n元非齐次线性方程组当全为零时，为n元齐次线性方程组

对于n元齐次线性方程组，有解为零解如果有一组不全为零的数是齐次线性方程组的解，则叫齐次线性方程组的非零解

🎨

齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解

称为m 行 n 列矩阵，简称m×n 矩阵

对称矩阵

反对称矩阵

反对称矩阵主对角元为零

其中 A 称为系数矩阵，x 称为未知数矩阵，b 称为常数项矩阵，B 称为增广矩阵

矩阵的加法

应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算

数与矩阵相乘

满足规律

矩阵与矩阵相乘

定义4 设A=（a是一个m×s矩阵，B=（b) 是一个s×n矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵 C =（c），其中

矩阵 A B = C 的（i，j）元就是 A 的第i行与 B 的第j列的乘积

矩阵 A≠0，B≠0，但却有 BA = 0.这就提醒读者要特别注意：若有两个矩阵 A、B 满足 A B = 0，不能得出 A = 0 或 B = 0 的结论；若 A ≠ 0 而 A（X - Y）= 0，也不能得出 X = Y 的结论

🎨

矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：（i）（A B）C = A（B C）；（ii）λ（A B）=（λA）B = A（λB）（其中λ为数）；（iii） A（B + C）= A B +A C，（B + C）A = BA + CA.

矩阵的转置

变成

运算规律

如果那么这个矩阵是对称矩阵

它的元素以对角线为对称轴对应相等

方阵的行列式

由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作det A 或︳A︳

区别

方阵

n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的数表

行列式

n 阶行列式则是这些数（也就是数表 A按一定的运算法则所确定的一个数

行列式运算规律

伴随矩阵

行列式︳A︳的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵，简称伴随阵

逆矩阵

定义7 对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵，简称逆阵

💡

逆矩阵是唯一的

的逆矩阵记作即若，则

定理1 若矩阵A 可逆，则

定理2 若︳A︳≠0，则矩阵A 可逆，且

逆矩阵的运算规律

💡

（i）若 A 可逆，则亦可逆，且；（ii）若 A 可逆，数λ≠0，则λA 可逆，且（iii）若 A、B 为同阶矩阵且均可逆，则 A B 亦可逆，且（iv) 若A可逆，则亦可逆

多项式

φ（A）称为矩阵 A 的 m 次多项式

克拉默法则

如果线性方程组（9）的系数矩阵 A 的行列式不等于零，即

那么，方程组有惟一解

矩阵分块法

对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

定义2 （1）非零矩阵若满足（i）非零行在零行的上面；（ii）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵；（2）进一步，若 A 是行阶梯形矩阵，并且还满足：（i）非零行的首非零元为1；（ii）首非零元所在的列的其他元均为 0，则称 A 为行最简形矩阵.

定义 3 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩

矩阵的秩

秩的定义

定义 5 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于 0，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数r称为矩阵A 的秩，记作 R（A）.并规定零矩阵的秩等于 0

💡

非零子式的最高阶数就是秩 B的最高阶子式为三阶，也就是B的秩为3.

💡

推论：B的秩就是B的非零子式最高阶数

性质

线性方程组的解

定理 4 n 元齐次线性方程组 Ax =0有非零解的充分必要条件是 R（A）＜n.

定理 5 线性方程组 A x = b 有解的充分必要条件是 R（A）= R（A，b）. 定理 6 矩阵方程 A X = B 有解的充分必要条件是 R（A）= R（A，B）

定理 7 设 A B = C，则 R（C）≤ min｛R（A），R（B）｝.

第4 章向量组的线性相关性

💡

定义 3 设有两个向量组 A：a1，a2，…，a m 及 B：b1，b2，…，bl，若 B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价.

向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即对每个向量 b（ j= 1，2，…，l）存在数 k1，j k2j，…，kmj，使

从而

这里的矩阵这一线性表示的系数矩阵